যদি n ঋনাত্মক হয় তবে নিম্নের কোনটি ধনাত্মক হবে?

যদি \(n\) একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, তবে এর বিভিন্ন ঘাত (power) এবং এর ব্যস্তানুপাতিক মান (reciprocal) ধনাত্মক হবে নাকি ঋণাত্মক হবে তা নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি:

    
• একটি ঋণাত্মক সংখ্যার উপর বিজোড় ঘাত (odd power) থাকলে ফলাফল ঋণাত্মক হয়। যেমন: \((-2)^3 = -8\)।
    
• একটি ঋণাত্মক সংখ্যার উপর জোড় ঘাত (even power) থাকলে ফলাফল ধনাত্মক হয়। যেমন: \((-2)^2 = 4\)।

এবার প্রতিটি বিকল্প বিশ্লেষণ করা যাক:

বিকল্প ১: \(n^3\)

যেহেতু \(n\) ঋণাত্মক এবং ঘাত \(3\) (বিজোড়), তাই \(n^3\) ঋণাত্মক হবে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(n = -2\) হয়, তাহলে \(n^3 = (-2)^3 = -8\) যা ঋণাত্মক।

বিকল্প ২: \(n^5\)

যেহেতু \(n\) ঋণাত্মক এবং ঘাত \(5\) (বিজোড়), তাই \(n^5\) ঋণাত্মক হবে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(n = -2\) হয়, তাহলে \(n^5 = (-2)^5 = -32\) যা ঋণাত্মক।

বিকল্প ৩: \(\frac{1}{n}\)

যেহেতু \(n\) ঋণাত্মক, তাই এর ব্যস্তানুপাতিক \(\frac{1}{n}\) ও ঋণাত্মক হবে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(n = -2\) হয়, তাহলে \(\frac{1}{n} = \frac{1}{-2} = -0.5\) যা ঋণাত্মক।

বিকল্প ৪: \(\frac{1}{n^2}\)

প্রথমে \(n^2\) এর মান নির্ণয় করি। যেহেতু \(n\) ঋণাত্মক এবং ঘাত \(2\) (জোড়), তাই \(n^2\) ধনাত্মক হবে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(n = -2\) হয়, তাহলে \(n^2 = (-2)^2 = 4\) যা ধনাত্মক।
এবার, \(\frac{1}{n^2}\) এর মান নির্ণয় করি। যেহেতু \(n^2\) ধনাত্মক, তাই \(\frac{1}{n^2}\) ও ধনাত্মক হবে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(n = -2\) হয়, তাহলে \(\frac{1}{n^2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} = 0.25\) যা ধনাত্মক।

সুতরাং, একমাত্র \(\frac{1}{n^2}\) ধনাত্মক হবে যখন \(n\) ঋণাত্মক।